Cette fiche sur les suites numériques au bac pro vous permettra de mieux appréhender ce chapitre pour l'épreuve de maths au bac pro.

Puis, vous pouvez la télécharger gratuitement et la garder dans vos cours de mathématiques en complément de ce que vous avez noté en classe de maths.

SUITES NUMERIQUES

1. Définitions

1.1 Suite numérique

Une suite numérique est une application d’un ensemble des entiers à un ensemble des réels, c’est-à-dire à chaque entier n est associé un réel un. On note (un)n.

Exemple d’une suite numérique : pour tout n > 0 (u1 = 1, u2 = 1/2, u3 = 1/3)

1.2 Convergence

Une suite numérique (un)n est dite convergente vers le scalaire L (ou tend vers L) si à partir d’un certain rang n0 on a |un0 – L| < Ɛ avec Ɛ un réel strictement positif quelconque.

Le réel L est la limite de la suite et il est unique. On note :

Exemple : un = 1/n. On a (Pour voir les formules correctement, télécharger la fiche complète gratuitement en cliquant sur le bouton "Voir ce document" )

Une suite est dite divergente si elle n’est pas convergente, soit elle tend vers l’infinie, soit elle ne tend pas vers une limite fixée.

Exemples :

1. un = sin(n)

2. un = n2,

2. Propriétés

2.1 Comportement d’une suite

Une suite (un)n est dite :

- croissante (ou strictement croissante) lorsque un+1 ≥ un (ou un+1 > un) pour tout n.

- décroissante (ou strictement décroissante) lorsque un+1 ≤ un (ou un+1

- monotone lorsqu’elle est croissante ou décroissante.

Quand il s’agit d’étudier le comportement d’une suite, on peut soit étudier le signe de un+1 – un, soit étudier le comportement de la fonction associée.

Exemple : pour tout n > 0

On a donc la suite (un)n est décroissante.

Ou on peut étudier la fonction f(x) = . On a f’(x) = < 0 avec tout x ≠ 0 donc la fonction est décroissante, donc la suite (un)n est décroissante.

Une suite (un)n est dite :

- majorée s’il existe un réel M tel que un ≤ n M pour tout n.

- minorée s’il existe un réel m tel que un ≥ m pour tout n.

- bornée si elle est minorée et majorée.

Théorème : Toute suite croissante et majorée (ou décroissante et minorée) est convergente.

2.2 Somme et produit de deux suites

Si les deux suites (un)n et (vn)n sont convergentes et tendent respectivement vers h et k :

- La suite (un+ vn)n est convergente et tend vers h+k

- La suite (un . vn)n est convergente et tends vers h.k

- Si vn est différent de 0 avec tout n et k différent de 0, la suite (un/vn)n est convergente et tend vers h/k.

- La suite α.un est convergente et tends vers α.h avec α un réel non nul.

Si la suite (un)n est convergente, et la suite (vn)n est divergente, alors les suites (un+ vn)n et (un.vn)n sont divergentes.

3. Les suites usuelles

3.1 Suites arithmétiques

Une suite arithmétique est une suite ayant la forme :

un+1 = un + r avec r un réel

La somme des n premiers termes de la suite arithmétique est :

Exemple : la suite (un)n définie de façon suivante u0 = 1 et un+1 = un + 3 .

On a u1 = 4, u2 = 7, u3 = 10, etc. et la somme des 4 premiers termes est S4 = . (10 + 1) = 22

3.2 Suites géométriques

Une suite arithmétique est une suite non nulle ayant la forme

un+1 = q . un avec q un réel non nul

Pour tout n on a : (Pour voir les formules correctement, télécharger la fiche complète gratuitement en cliquant sur le bouton "Voir ce document" )

Si q ≠ 1, la somme des n premiers termes de la suite géométrique est :

Exemple : la suite (un)n définie de façon suivante u0 = 1 et un+1 = un .3 .

On a u1 = 3, u2 = 9, u3 = 27, etc. et la somme des 4 premiers termes est S4 = 1 . = 40.

3.3 Suites récurrentes

Une suite de récurrente est une suite définie de façon suivante :

u0 = a avec a un réel et un+1 = f(un) avec f une fonction définie sur R